Y no es casualidad. Si quisiéramos hacer en la práctica dos cortes iguales en una patata de tamaño normal, esto eso, más o menos; eje mayor 10 cm, eje menor 5 cm y tomándola como elipsoide de revolución, desaprovecharíamos muuchas patatas para hacer un plato de bravas idénticas. Deberíamos sacar la forma deseada de la parte más interna del tubérculo, ya que cada patata tiene una forma distinta, y más aún al pelarla. Nuestra patata tiene un volumen de aproximadamente 130 cm3.
El objetivo es averiguar cuál es el volumen del prisma regular de base cuadrada más grande que puede contener nuestra patata, para, a su vez, dividir ese prisma en otros que nos darán un sabroso plato de aperitivo.
Esta labor matemática ha sido encomendada al gran sabio y físico licenciado Tunercio Ribagorda.
A continuación viene el desarrollo:
El volumen del elipsoide de revolución es Ve=(x2/a2)+(y2/a2)+(z2/b2)-1
El volumen del prisma que hay dentro será Vp= xyz
Ahora, para optimizar el volumen del prisma dentro del elipsoide, utilizamos multiplicadores de Lagrange:
f = xyz - λ [(x2/a2)+(y2/a2)+(z2/b2)-1]
f ': (utilizaré la d como símbolo de derivada parcial, ya que no encuentro el verdadero :P)
- df/dx= yz-(2λx/a2)
- df/dy= xz-(2λy/a2)
- df/dz= xy-(2λz/b2)
- df/dλ= (x2/a2)+(y2/a2)+(z2/b2)-1
Igualamos las derivadas parciales a cero y despejamos un poco:
- yz = (2λx/a2)
- xz = (2λy/a2)
- xy = (2λz/b2)
- (x2/a2)+(y2/a2)+(z2/b2) = 1
La primera y segunda ecuación son linealmente dependientes, así que si resolvemos el sistema con las demás, despejando x, y & z, el resultado es:
x2 = a2/3; y2 = a2/3; z2 = b2/3
Para despejar x, y & z simplemente utilizamos raíces cuadradas. Fijémonos ahora en esta foto:
En esta "patata metálica" se ve perfectamente reflejado el lado. Las magnitudes que nosotros hemos tomado son los semiejes a & b. El semieje que corresponde a la base cuadrada del corte es a. El lado del corte sería a multiplicado por raíz de dos (Teorema de Pitágoras). El semieje que corresponde a la cara rectangular es b multiplicado por dos (simetría). La longitud de esta cara coincide con el eje (semieje por dos).
Y ahora llega el momento estelar: aplicar los resultados a nuestro caso. Nuestro eje mayor era de 10 cm, por tanto semieje mayor b = 5 cm. Nuestro eje menor era de 5 cm, por tanto semieje menor a = 2.5 cm.
x = a/1.732 = 2.5/1.732 = 1.443 cm.
y = x = 1.443 cm.
z = b/1.732 = 5/1.732 = 2.887 cm.
Esas son las dimensiones para los semiejes de nuestra patata. Ahora, apliquemos lo deducido antes sobre la relación con los lados del prisma:
Lado de la base cuadrada = 1.443 x 1.414 = 2.04 cm. (hemos multiplicado por raíz de dos)
Lado de la cara rectangular = 2.887 x 2 = 5.77 cm.
Aquí esta nuestro corte optimizado de patata. Los trozos en realidad nunca serán exactos totalmente porque dependen de números que no son exactos totalmente (irracionales) como son raíz de dos y de tres. Está bien, pero la freidora tardaría un poco así que podemos cortarlo en n partes iguales para conseguir trozos más pequeños. Para ello simplemente dividimos una de las dos cotas por un número natural, dejando la otra constante.
Por ejemplo, podemos partir cada prisma en 4 trozos, obteniendo trozos de 2.04 x 1.44 cm.
Y una vez hemos pelado y picado nuestras patatas perfectas, nos sobran enormes trozos de patata. ¿Cuánta patata hemos desaprovechado por hacer semejante estupidez? Simplemente tenemos que restar al volumen total de la patata, el que hemos aprovechado en el prisma, pero esto se lo dejo a nuestros lectores. ¡Entreténganse mientras degustan este plato (casi) perfecto!
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