viernes, 25 de mayo de 2007

Patatas intercooler de geometría variable

Y es que, aunque la homogeneidad sería ideal, cuando picamos las patatas siempre queda cada una de una forma distinta a la anterior. Aqui tenemos el ejemplo de unas suculentas bravas que supongo han sido cortadas artesanalmente. Son todas distintas.




Y no es casualidad. Si quisiéramos hacer en la práctica dos cortes iguales en una patata de tamaño normal, esto eso, más o menos; eje mayor 10 cm, eje menor 5 cm y tomándola como elipsoide de revolución, desaprovecharíamos muuchas patatas para hacer un plato de bravas idénticas. Deberíamos sacar la forma deseada de la parte más interna del tubérculo, ya que cada patata tiene una forma distinta, y más aún al pelarla. Nuestra patata tiene un volumen de aproximadamente 130 cm3.

El objetivo es averiguar cuál es el volumen del prisma regular de base cuadrada más grande que puede contener nuestra patata, para, a su vez, dividir ese prisma en otros que nos darán un sabroso plato de aperitivo.

Esta labor matemática ha sido encomendada al gran sabio y físico licenciado Tunercio Ribagorda.
A continuación viene el desarrollo:

El volumen del elipsoide de revolución es Ve=(x2/a2)+(y2/a2)+(z2/b2)-1
El volumen del prisma que hay dentro será Vp= xyz

Ahora, para optimizar el volumen del prisma dentro del elipsoide, utilizamos multiplicadores de Lagrange:

f = xyz - λ [(x2/a2)+(y2/a2)+(z2/b2)-1]


f ': (utilizaré la d como símbolo de derivada parcial, ya que no encuentro el verdadero :P)



  • df/dx= yz-(2λx/a2)

  • df/dy= xz-(2λy/a2)

  • df/dz= xy-(2λz/b2)

  • df/dλ= (x2/a2)+(y2/a2)+(z2/b2)-1

Igualamos las derivadas parciales a cero y despejamos un poco:



  • yz = (2λx/a2)

  • xz = (2λy/a2)

  • xy = (2λz/b2)

  • (x2/a2)+(y2/a2)+(z2/b2) = 1

La primera y segunda ecuación son linealmente dependientes, así que si resolvemos el sistema con las demás, despejando x, y & z, el resultado es:


x2 = a2/3; y2 = a2/3; z2 = b2/3


Para despejar x, y & z simplemente utilizamos raíces cuadradas. Fijémonos ahora en esta foto:

En esta "patata metálica" se ve perfectamente reflejado el lado. Las magnitudes que nosotros hemos tomado son los semiejes a & b. El semieje que corresponde a la base cuadrada del corte es a. El lado del corte sería a multiplicado por raíz de dos (Teorema de Pitágoras). El semieje que corresponde a la cara rectangular es b multiplicado por dos (simetría). La longitud de esta cara coincide con el eje (semieje por dos).

Y ahora llega el momento estelar: aplicar los resultados a nuestro caso. Nuestro eje mayor era de 10 cm, por tanto semieje mayor b = 5 cm. Nuestro eje menor era de 5 cm, por tanto semieje menor a = 2.5 cm.

x = a/1.732 = 2.5/1.732 = 1.443 cm.

y = x = 1.443 cm.

z = b/1.732 = 5/1.732 = 2.887 cm.

Esas son las dimensiones para los semiejes de nuestra patata. Ahora, apliquemos lo deducido antes sobre la relación con los lados del prisma:

Lado de la base cuadrada = 1.443 x 1.414 = 2.04 cm. (hemos multiplicado por raíz de dos)

Lado de la cara rectangular = 2.887 x 2 = 5.77 cm.

Aquí esta nuestro corte optimizado de patata. Los trozos en realidad nunca serán exactos totalmente porque dependen de números que no son exactos totalmente (irracionales) como son raíz de dos y de tres. Está bien, pero la freidora tardaría un poco así que podemos cortarlo en n partes iguales para conseguir trozos más pequeños. Para ello simplemente dividimos una de las dos cotas por un número natural, dejando la otra constante.

Por ejemplo, podemos partir cada prisma en 4 trozos, obteniendo trozos de 2.04 x 1.44 cm.

Y una vez hemos pelado y picado nuestras patatas perfectas, nos sobran enormes trozos de patata. ¿Cuánta patata hemos desaprovechado por hacer semejante estupidez? Simplemente tenemos que restar al volumen total de la patata, el que hemos aprovechado en el prisma, pero esto se lo dejo a nuestros lectores. ¡Entreténganse mientras degustan este plato (casi) perfecto!

3 comentarios:

Anónimo dijo...

Um... no estoy del todo de acuerdo. Sin entrar en cuestiones matemáticas (demasiado nivel para mi el de este artículo), creo que desaprovechas patata.

Es decir, una vez que tienes el prisma de patata, supongamos que lo divides en 12 trozos (llamados trozos A). Entre los trozos de patata que has desaprovechado, probablemente se pueda encontrar uno o más trozos (llamado trozo B) identicos a los trozos A (por ejemplo, en la parte de la patata pegada a la base y tapa superior de tu prisma). CUanto más pequeños sean los trozos A, más trozos B podremos encontrar.

De hecho, si hicieramos trozos A de 1mm3, casi seguro que podriamos aprovechar toda la patata que tu desperdicias :)

Juan Pi Medios dijo...

:P gran comentario, eso depende como bien dices de los trozos que hagas después, alguno más siempre se puede sacar, claro que no podemos llegar al extremo de hacer las patatas de 1 mm3 porque se las comería el aceite :D

Anónimo dijo...

como eres tan friki carlos??ajjaja vaya rayada....tas fatal jaja..ah cielo k soy esther eh!!

 

Creative Commons License
Esta obra está bajo una licencia de Creative Commons.